Alexei Tkachuk wurde am 17.3.1969 in Kiew geboren. Seine musikalische Grundausbildung erhielt er an der Spezialmusikschule für begabte Kinder in Kiew. Als Jungstudent erhielt er dort sechs Jahre Unterricht im Hauptfach Geige, bevor er seine Liebe zum Fagott durch Prof. Yuriy Dondakov entdeckte. Nach seinem Wechsel zum Hauptfach Fagott und seinem Übertritt an das Tschaikowski-Konservatorium Kiew bekam er als Künstler erste wichtige Impulse durch den berühmten sowjetischen Fagottpädagogen Prof. Wladimir Apatsky, dessen Fagottklasse in Osteuropa schon immer einen legendären Ruf hatte.

Schon während des Studiums spielte Alexei Tkachuk regelmäßig als Solo-Fagottist diverser ukrainischer Orchester unter Dirigenten wie Roman Kofman, Dimitri Kitajenko und anderen.

Seine Karriere als Solist fand ihren vorläufigen Höhepunkt mit dem Gewinn des dritten Preises beim Internationalen Fagottwettbewerb Markneukirchen 1990. Dort wurde der legendäre Solo-Fagottist der Berliner Philharmoniker, Günter Piesk, auf ihn aufmerksam und lud ihn an die Hochschule der Künste Berlin ein, um seine Studien zu vervollständigen. Noch während des Studiums in Berlin gewann er beim internationalen Fagottwettbewerb in Minsk den 1. Preis und wurde nach dem Konzertexamen in die Orchesterakademie der Berliner Philharmoniker aufgenommen.

Dort spielte er u.a. unter Dirigenten wie Mariss Jansons,Pierre Boulez, Bernhard Haitink, Günter Wand, Heinz Holliger, Zubin Mehta, James Levine, Kurt Masur, Sir Georg Solti, Seji Ozawa, Nikolaus Harnoncourt und Claudio Abbado.

1995–1997 war er Solo-Fagottist des Gustav-Mahler Jugendorchesters und anschließend Gründungsmitglied des Mahler Chamber Orchestra, wo er bis 2006 als Solo-Fagottist tätig war.

1997 nahm er ein Engagement als Solo-Fagottist bei den Bamberger Symphonikern an.

Seit 2005 ist er Professor für Fagott an der Hochschule für Künste Bremen.